На коленчатом валу могут возбуждаться три вида колебаний:
- продольные колебания — вал периодически перемещается вдоль продольной оси;
- колебания при изгибе — вал периодически изгибается относительно своей продольной оси;
- крутильные колебания — вал периодически подвергается ускорению и замедлению собственного вращения относительно продольной оси.
Крутильные колебания являются самыми опасными, так как они чаще всего приводят к излому коленчатого вала. В данном разделе речь пойдет именно о крутильных колебаниях и о предотвращении последствий их возбуждения. Во избежание резонанса следует проводить соответствующие расчеты, которые зачастую выполняет специалист по колебаниям. Резонанс опасен тем, что, даже не приводя к поломке коленчатого вала, вызывает опасные рабочие состояния — нарушенную балансировку, повышенный износ шестерен приводов и гул при работе. При расчетах необходимо учитывать следующие проблемы:
- формы собственных колебаний и собственные частоты вращения коленчатого вала;
- места возникновения резонанса и критическую частоту вращения коленчатого вала;
- амплитуды колебаний и внутренние напряжения, возникающие при колебаниях в материале коленчатого вала;
- меры для предотвращения недопустимо высокой частоты крутильных колебаний.
Для разъяснения некоторых важных терминов вначале рассмотрим простой торсион, который состоит из вала, прочно зафиксированного с одной стороны (с жесткой заделкой), и некой массы (маховика) на свободном конце (рис. 2.34). Примем условием, что вал имеет собственную исчезающе малую массу в сравнении с маховиком, поэтому общая масса и общий момент инерции J сосредоточены в маховике. Эластичность при вращении конструкции обеспечивается валом, который имеет соответствующую жесткость на кручение, характеризуемую коэффициентом жесткости с:
Ip — полярный момент инерции площадей вала;
G — модуль упругости при сдвиге;
l — длина вала.
Рис. 2.34. Простой торсион
Коэффициент жесткости равен значению крутящего момента, при котором вал поворачивается на угол φ, величина которого характеризуется соотношением arc φ=1. Если маховик повернуть, отклонив от положения покоя, вся система колеблется вокруг своей продольной оси. Конец вала вместе с маховиком при этом периодически поворачивается под углом φ в обе стороны. Максимальный размах колебаний называется амплитудой колебаний А. Для случая колебаний при вращении амплитуда выражается через угол φ как окружное перемещение (рис. 2.34):
А = φ r
Самые большие амплитуды колебаний приходятся на конец вала с маховиком. К месту жесткой заделки амплитуды снижаются до нуля. Здесь находятся узлы колебаний. Если изобразить амплитуду колебаний как некий график вдоль оси вала, можно получить изображение формы колебаний (рис. 2.34).
Свободно раскачивающийся вал с маховиком на конце после одного толчка само-возбуждает свободные или собственные колебания. Количество колебаний в секунду считается частотой колебаний, в случае собственных колебаний обозначается как собственная частота колебаний vе. Наряду с этим специалист по колебаниям изучает собственную угловую частоту колебаний ωе. Она рассчитывается как
Собственная угловая частота простого торсиона рассчитывается по формуле (без производной):
Кроме собственных колебаний, существуют колебания, вызванные или возбуждаемые внешними силами. При этом периодическая изменчивая тангенциальная сила Т постоянно воздействует на колеблющуюся систему (рис. 2.35). Количество колебаний в секунду больше не будет равно собственной частоте, а система, наоборот, будет колебаться с частотой возбуждения v err тангенциальной силы. Амплитуда колебаний, которая зависит при свободном колебании от начального отклонения маховика, определяется при колебании, вызванном внешней силой, на основании амплитуды тангенциальной силы В и соотношения угловой частоты Ω/ωе (Ω=2πverr). При соотношении Ω=ωе возникает резонанс, а амплитуда колебаний А станет теоретически бесконечно большой (рис. 2.36).
Рис. 2.35. Внешнее возбуждение посредством периодической изменчивой тангенциальной силы Т | Рис. 2.36. Амплитуда А колебаний, возбуждаемых внешней силой, и фазовый угол δ между силой возбуждения и колебаниями |
В действительности амплитуда остается конечной, так как в любой колеблющейся системе возникает амортизация от трения либо от сопротивления материала колеблющейся детали. При этом энергия колебаний при трении преобразуется в тепло и, таким образом, уменьшает амплитуду колебаний.
При затухающих колебаниях, вызванных внешним воздействием, амплитуда колебаний зависит не только от соотношения угловой частоты, но и от величины амортизации. На рис. 2.37 представлены амплитуды колебаний для сильной и слабой амортизации. Амплитуда колебаний растет до того момента, пока энергия силы возбуждения не будет равна энергии, отводящейся из системы с помощью амортизации.
Рис. 2.37. Амплитуда А затухающих колебаний, вызванных внешним воздействием
При незатухающих колебаниях, вызванных внешним воздействием, сила и амплитуда колебаний совпадают по фазе, до тех пор, пока соотношение угловой частоты Ω/ωе < 1. Для Ω/ωе > 1 несовпадение силы и амплитуды происходит со сдвигом фазы на 180°. При этом при растущем Ω/ωе амплитуда колебаний становится все меньше.
Сдвиг фазы можно объяснить лучше всего с помощью векторной диаграммы (рис. 2.38). С помощью одного вращающегося вектора, который вращается с заданной частотой, можно легко определить параметры колебания. Угловая частота колебания равна угловой скорости вектора. Угол между вектором В тангенциальной силы и вектором А амплитуды колебаний равен углу сдвига фазы или фазовому углу δ.
Рис. 2.38. Векторная диаграмма
При затухающих колебаниях, вызванных внешним воздействием, сдвиг фазы между тангенциальной силой и амплитудой колебаний зависит от соотношения угловой частоты и величины амортизации (рис. 2.37). Если амортизация незначительная, возникает максимальная амплитуда колебаний как при незатухающих колебаниях при резонансе, то есть Ω/ωе = 1. Сила возбуждения при этом опережает амплитуду колебаний на 90°, то есть совпадает по фазе со скоростью колебаний. В данном состоянии колеблющаяся система получает максимум энергии через силу возбуждения.
Теперь рассмотрим возможные колебания коленчатого вала. Во-первых, необходимо определять форму собственных колебаний и собственную частоту колебаний. Так как коленчатый вал из-за своей сложной формы не позволяет выполнить непосредственные расчеты колебаний, необходимо создать равноценную математическую модель для расчета колебаний. Главная задача специалиста по колебаниям состоит в том, чтобы разработать математическую модель на основании размеров коленчатого вала и соединенных с ним деталей.
Каждое колено настоящего коленчатого вала обладает как определенной массой (моментом инерции массы), так и собственной жесткостью на кручение (рис. 2.39). Математическая модель представляет собой условный вал, который состоит из дисков и промежуточных частей. Момент инерции массы в математической модели изображается в виде диска, а жесткость на кручение — как промежуточная часть вала. К массе каждого колена также относится масса шатуна, совершающего возвратно-поступательные движения. Маховик также изображается как диск большего размера на конце условного вала. Расчет промежуточных частей вала производится с помощью частично эмпирически сформулированных формул.
Рис. 2.39. Математическая модель коленчатого вала
После отображения коленчатого вала в виде математической модели необходимо определить форму собственных колебаний и собственную частоту колебаний каждой части математической модели. Система с числом дисков, равным n, может колебаться согласно форме собственных колебаний n - 1. К каждой форме собственных колебаний принадлежит одна собственная частота, то есть существует собственная частота n - 1. Для формы собственных колебаний и собственной частоты можно присвоить обозначение «степень». Собственная частота 1-й степени принадлежит к основным колебаниям, собственная частота 2-й степени — к высшим колебаниям 1-й степени и т.д. В основном достаточно знать собственную частоту 1-й и 2-й степеней, так как для более высоких колебаний опасность резонанса не возникает.
После того, как были определены формы собственных колебаний и собственные частоты колебаний, необходимо найти места резонанса. В качестве силы возбуждения выступают тангенциальные силы как результат взаимодействия сил действия газов в цилиндре и сил инерции кривошипно-шатунного механизма. Их можно разбить на гармоничные составляющие силы, каждая из которых действует как возбудитель колебаний. Гармоничную силу можно представить посредством синусо- и косинусоидальной функции.
Гармоника (сокращение от гармоничной составляющей силы) обозначается как гармоника 1-го порядка, 2-го порядка и т.д. Количество порядков (степень) указывает на то, сколько раз гармоника колеблется за один оборот коленчатого вала.
Разложение силы действия газов в гармонике происходит с помощью анализа Фурье (рис. 2.40). Так как в четырехтактном двигателе период рабочего цикла составляет два оборота коленчатого вала, возникает гармоника 0,5-го порядка, 1-го порядка, 1,5го порядка и т.д. В двухтактном двигателе, где рабочий цикл происходит за один оборот коленчатого вала, существует только гармоника 1 -го порядка, 2-го порядка, 3-го порядка и т.д.
Рис. 2.40. Анализ гармоник (анализ Фурье) для четырехтактного двигателя, гармоника нулевого порядка, то есть постоянная составляющая, не представлена
Гармоники вращающихся масс можно описать непосредственно в виде формулы, так как уравнение сил инерции уже включает в себя косинусоидальные члены. Из опыта следует, что гармоники сил инерции не вызывают опасного резонанса. Гармоники низшего порядка имеют достаточно высокие амплитуды, но их частота колебаний возбуждения не достигает собственной частоты 1-й степени. Гармоники высшего порядка недостаточно сильны, чтобы вызвать опасные резонансные колебания. Таким образом, при определении мест резонанса достаточно брать за основу гармоники силы действия газов.
Частота возбуждения и угловая частота возбуждения одной гармоники рассчитываются по формулам:
n — частота вращения коленчатого вала;
ω — угловая скорость коленчатого вала;
i — порядковый номер гармоники.
Частота возбуждения, в отличие от собственной частоты, не постоянна, а изменяется пропорционально частоте вращения коленчатого вала двигателя, как следует из вышеуказанной формулы. Если указать обе частоты на графике частоты вращения коленчатого вала, частота возбуждения будет представлять собой лучи, проходящие через начало координат, а собственная частота — горизонтальную линию (рис. 2.41). В точке пересечения данных линий обе частоты равны, следовательно, это точки возникновения резонанса. Соответствующая частота именуется критическая частота вращения.
Рис. 2.41. Критические частоты вращения коленчатого вала трехцилиндрового двухтактного двигателя
Не все критические частоты вращения приводят к поломке коленчатого вала. Уже упоминалось, что величина амплитуды колебаний коленчатого вала зависит от подвода энергии. Решающим для подвода энергии является следующее:
- сила возбуждения гармоники;
- величина амплитуды колебания коленчатого вала в точке приложения тангенциальной силы;
- фазовый угол между гармоникой и амплитудой колебаний.
Так как не всегда большая сила возбуждения совпадает с большой амплитудой колебаний при величине фазового угла, благоприятной для подвода энергии, существуют состояния резонанса, которые не приводят к поломке коленчатого вала.
Фазовый угол является наиболее благоприятным, когда гармоника опережает в своем колебании амплитуду колебаний на 90°.
Амплитуды собственных колебаний 1-й степени коленчатого вала совпадают по фазе, а в форме собственных колебаний 2-й степени — в фазе и противофазе (сдвиг фаз 180°), рис. 2.42.
Рис. 2.42. Формы колебаний 1-ой и 2-ой степеней для коленчатого вала шестицилиндрового двигателя
Фазовый угол между гармониками отдельного цилиндра равен:
ζ — интервал между вспышками, в четырехтактном двигателе: ζ=720°/z; в двухтактном двигателе: ζ=360°/z;
z — число цилиндров.
Если фазовый угол Δψ является целым кратным от 360°, гармоники вновь совпадают по фазе. Для этого существует уравнение:
Данные гармоники, совпадающие по фазе, вызывают более сильные колебания на коленчатом валу, как будто они сдвинуты по фазе друг к другу. Они называются главные гармоники, и их порядковый номер можно получить, используя формулу:
Если заменить интервал между вспышками ζ согласно вышеуказанному уравнению, то для четырехтактного двигателя: i=mz/2, а для двухтактного двигателя: i=mz.
Все другие гармоники называются побочными гармониками. Разумеется, побочная гармоника низшего порядка может быть опаснее, чем главная гармоника высшего порядка, так как при возбуждении колебаний увеличивается и сила гармоник.
Для расчета напряжения при кручении, вызванного колебаниями, необходимо знать амплитуду колебаний коленчатого вала. Так как при более слабой амортизации в случае резонанса форма колебания лишь незначительно отличается от известной формы собственных колебаний, это необходимо положить в основу для определения амплитуды колебаний. Если, кроме этого, известны гармоники, их двусторонне фазовое положение и сила амортизации, то можно определить амплитуду колебания.
Самое большое напряжение при кручении возникает в той части вала математической модели, в которой разница амплитуд колебаний двух соседних дисков имеет максимальное значение. Данное максимальное значение возникает там, где находится узел колебаний. Напряжение при кручении, возникающее вследствие колебаний, накладывается на напряжение при кручении, вызванное крутящим моментом. Для колебаний напряжение при кручении рассчитывается по формуле:
MSch — крутящий момент вследствие колебания;
Δφ — разница угла кручения двух соседних дисков (щек вала);
Wp — полярный момент сопротивления; палец кривошипа является самым слабым местом вала.
Вышеуказанные расчеты напряжения при кручении основываются на предположении, что амплитуда колебаний вырабатывается именно той гармоникой, с которой вал входит в резонанс. В этом случае напряжение при кручении, вызванное всеми другими гармониками, является незначительным.
Так как коленчатый вал нагружен также полезным крутящим моментом, место максимальной нагрузки можно найти путем нанесения и наложения обоих напряжений при кручении на продольную ось коленчатого вала. Для величины допустимого напряжения при кручении важным является усталостная прочность. Если вследствие резонанса она будет превышена, конструктор и специалист по колебаниям должны будут вместе искать выход. Для этого предлагаются следующие возможные решения:
- Повышение собственной частоты колебаний коленчатого вала, при этом опасная критическая частота вращения не должна находиться в диапазоне рабочей частоты вращения. Собственная частота растет, когда коленчатый вал имеет жесткую конструкцию (более массивные цапфы и более короткие подшипники).
- Если в результате побочной гармоники возникает опасный резонанс, поможет изменение порядка зажигания. При резонансе вследствие главной гармоники данная мера безрезультатна.
- Установка гидравлического демпфера крутильных колебаний на коленчатый вал (рис. 2.43).
- Установка механического демпфера (рис. 2.44), настроенного таким образом, чтобы гармоника, на которую он рассчитан, не могла вызвать опасных колебаний. В случае резонанса, хотя и сам демпфер вызывает небольшие колебания, вал остается полностью в спокойном положении. В отличие от гидравлического демпфера, колебаний, который преобразовывает механическую энергию через трение в тепло, механический демпфер работает без потерь. Недостатком является то, что для каждой гармоники, которая должна быть погашена, необходим отдельный демпфер, который устанавливается как подвижный противовес.
- Блокировка определенного диапазона частоты вращения. Чтобы не возникали опасные резонансы, данные диапазоны частоты вращения должны быстро проходиться, но двигатель нельзя эксплуатировать в диапазоне блокировки долгое время.
Рис. 2.43. Гидравлический демпфер крутильных колебаний с амортизационной жидкостью | Рис. 2.44. Демпфер |