Кинематика поршневого двигателя

Поршень двигается между верхней и нижней мертвыми точками несогласованно, то есть с ускорением и замедлением. Коленчатый вал, напротив, вращается с постоянной угловой скоростью. Движения шатуна согласованы как с движениями поршня, так и с вращением коленчатого вала. Фактическое удаление поршня от своего положения в верхней мертвой точке (ВМТ) называется перемещением поршня s, и математически выражается как функция угла поворота коленчатого вала а (рис. 2.3).





Угол отклонения шатуна β рассчитывается через величину угла α на основании соотношения



Если вводить коэффициент шатуна - λ=r/l тогда





при этом получаем формулу для определения величины перемещения поршня s в желаемой формулировке:



С помощью уравнения 2.1 вычисляются точные значения для величины перемещения поршня. Существует также приближенная формула, точности которой достаточно для большинства случаев использования. Приближенная формула образуется из-за того, что квадратный корень развивается после степенного ряда (ряд Мак-Ларена) и затем обрывается после второго члена уравнения:



Теперь следуем расчету ряда Мак-Ларена, а именно:





Из него следует приближенное уравнение для корня:



Приближенная формула для величины перемещения поршня s выглядит так:

Пример 1

Для кривошипно-шатунного механизма с r = 50 мм и l = 200 мм должна определяться максимальная погрешность в процентном отношении, которая возникает при использовании приближенной формулы для величины перемещения поршня s.

Решение

Члены, отсутствующие в приближенной формуле, содержат все проценты от sin α. Поэтому самая большая погрешность возникает для α=90°, в то время как для α=0° она равняется нулю. После предварительного подсчета рассчитывается точное значение величины перемещения поршня s с помощью уравнения 2.1:



Согласно уравнению 2.2 получаем приближенное значение:



Погрешность составляет -0,1 мм, а максимальная погрешность в процентном отношении:



Следующей важной величиной является скорость поршня. В двигателестроении различают среднюю и мгновенную скорости поршня.



Проще всего рассчитать среднюю скорость поршня, которую в дальнейшем можно часто использовать как опорную величину. Средняя скорость поршня определяется посредством соотношения



В качестве величины перемещения выбираем 2 Н (рис. 2.1), т.е. ход поршня, умноженный на два. Данному перемещению соответствует определенное вращение коленчатого вала, то есть время n⁻¹. Величина и является частотой вращения за единицу времени.

Формула для средней скорости поршня выглядит так:



Формула 2.3 является критериальным уравнением. На практике часто используется уравнение с численным значением для расчета средней скорости поршня:



(Оригинал расположен по адресу: «PEUGEOTBOOK»)



В данном уравнении с численным значением должны использоваться следующие единицы измерения:



В некоторых случаях интерес представляет мгновенная, то есть фактическая скорость поршня. Ее определяют, используя формулы для величины перемещения поршня согласно соотношению:



где t — время

Так как величину перемещения поршня используют только в качестве функции угла поворота коленчатого вала, по принятому правилу различают следующее соотношение:



Отношение является угловой скоростью ш коленчатого вала. Исходя из уравнения 2.2, вновь возникает приближенная формула для скорости поршня. Точности данной формулы достаточно для большинства случаев ее использования.





Ускорение поршня можно вычислить подобным же образом, основываясь на скорости поршня.



В двигателях с высокой частотой вращения коленчатого вала, например, в двигателях гоночных автомобилей, точности уравнения 2.6 недостаточно. В этом случае при вычислениях необходимо исходить или из точной формулы расчета величины перемещения поршня (уравнение 2.1), или развивать квадратный корень в степенном ряду с более чем двумя членами.





Ускорение поршня часто необходимо в качестве функции величины перемещения поршня. Решить данную задачу математическим путем сложно. В данном случае желательно использовать графический приближенный метод. Ускорение поршня аппроксимируется посредством параболы. Точности данного метода достаточно для значений λ≤0,26. Поясняет использование этого метода рис. 2.4. Вначале необходимо выбрать подходящий масштаб для осей координат. Затем определяем верхнюю мертвую точку (ВМТ)



и нижнюю мертвую точку (НМТ)



Соединяем точки А и В и на этой прямой указываем точку С. От точки С проводим прямую 3 на величину ω²rλ вниз и получаем точку D. Теперь необходимо разделить участки AD и DB на одинаковое количество равных по длине отрезков и пронумеровать точки. При соединении пронумерованных точек возникает кривая ускорения в виде огибающей кривой.

Пример 2

Для двигателя с r=35 мм, λ=0,28, n=6000 мин⁻¹ при величине угла поворота кривошипа α=30° необходимо рассчитать величину перемещения поршня, скорость движения поршня и ускорение поршня.

Решение

Величина перемещения поршня



Скорость поршня



Угловая скорость ω рассчитывается, используя критериальное уравнение



или используя уравнение с числовыми значениями



Ускорение поршня